Question

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設Q（t，m）是直線x=9上的點，直線QA、QB與橢圓C分別交于點M、N，求證：直線MN
必過x軸上的一定點，并求出此定點的坐標；
（3）實際上，第（2）小題的結論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線，請你對拋物線y²=2px（p＞0）寫出一個更一般的結論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過點（2，

5

3

），代入橢圓方程，列方程求解即可．
（2）設出直線QA的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，表示出點M的坐標，同理，表示出點N的坐標，然后討論直線MN與x軸的交點是否為定點．
（3）類比（2）中的結論，將橢圓改成拋物線，證明與（2）類似：設出P、M的坐標，利用直線OP的方程與拋物線方程聯立，求出點N的坐標，進而求出MN的方程，從而MN與x軸的交點可求．

解答：解：（1）依題意，橢圓過點（2，

5

3

），故

4

a2

+

25

9b2

=1，a²-b²=4，解得a²=9，b²=5，故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）設Q（9，m），直線QA的方程為y=

m

12

（x+3），代入橢圓方程，整理得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，
設M（x₁，y₁），則-3x₁=

9m2-720

80+m2

，解得x₁=

240-3m2

80+m2

，y₁=

m

12

（x₁+3）=

40m

80+m2

，故點M的坐標為（

240-3m2

80+m2

，

40m

80+m2

）．
同理，直線QB的方程為y=

m

6

（x-3），代入橢圓方程，整理得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
設N（x₂，y₂），則3x₂=

9m2-180

20+m2

，解得x₂=

3m2-60

20+m2

，y₂=

m

6

（x₁-3）=-

20m

20+m2

，故點M的坐標為（

3m2-60

20+m2

，-

20m

20+m2

）．
①若

240-3m2

80+m2

=

3m2-60

20+m2

，解得m²=40，直線MN的方程為x=1，與x軸交與（1，0）點；
②若m²≠40，直線MN的方程為y+

20m

20+m2

=

10m

40-m2

（x-

3m2-60

20+m2

），令y=0，解得x=1，．
綜上所述，直線MN必過x軸上的定點（1，0）．
（3）結論：已知拋物線y²=2px（p＞0）的頂點為O，P為直線x=-q（q≠0）上一動點，過點P作X軸的平行線與拋物線交于點M，直線OP與拋物線交于點N，則直線MN必過定點（q，0）．
證明：設P（-q，m），則M（

m2

2p

，m），直線OP的方程為y=-

m

q

x，代入y²=2px，得y²+

2pq

m

y=0，可求得N（

2pq2

m2

，-

2pq

m

），
直線MN的方程為y-m=

2pm

m2-2pq

（x-

m2

2p

），令y=0，解得x=q，即直線MN必過定點（q，0）．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線與拋物線的位置關系，解題時要認真審題，注意運用方程思想、分類討論、類比等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，難度較大．