Question

已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．
（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，以及分類討論思想與創新意識等．）
解：（1）因為，所以，所以．   1分
由及圓的性質，可知四邊形是正方形，所以．
因為，所以，所以．3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．                      4分
（2）方法1：因為，
所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為．   5分
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，                 6分
所以聯立方程組                  7分
消去，，即得直線的方程為．                  8分
方法2：設，已知點，
則，．
因為，所以，即．                5分

整理得．
因為，所以．                       6分
因為，，根據平面幾何知識可知，．
因為，所以．                           7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．                        8分
方法3：設，已知點，
則，．
因為，所以，即解析