Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，為等腰直角三角形，，且．

（1）證明：平面平面．
（2）求直線EC與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：解法一利用綜合法證明解題：
（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）如圖4-1中，設AC與BD交點為O，所以OE為兩平面AEC和BED的交線.過C作平面BED的垂線，其垂足必在直線EO上，即∠OEC為EC與平面BED所成的角.再設正方形邊長為2，則OA=，AE=2，所以OE=，EC=，所以在三角形OEC中，利用余弦定理可得 cos∠OEC=，故所求為sin∠OEC=.
解法二利用向量法：以A為原點，AE、AB、AD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖4-2所示，
（1）設正方形邊長為2，則E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，從而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.
（2）設平面BED的法向量為，由，得，故取    8分
而=(-2,2,2)，設直線EC與平面BED所成的角為，則有 .
試題解析：解法一：

（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）設AC與BD交點為O，所以OE為兩平面AEC和BED的交線.
過C作平面BED的垂線，其垂足必在直線EO上，
即∠OEC為EC與平面BED所成的角.      7分
設正方形邊長為2，則OA=，AE=2，
所以OE=，EC=，       9分
所以在三角形OEC中，
由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求為sin∠OEC=         12分
解法二：以A為原點，AE、AB、AD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系．  1分

（1）設正方形邊長為2，則E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)      2分
(0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，
從而有，，
即BD⊥AC，BD⊥AE，
所以BD⊥平面AEC，
故平面BED⊥平面AEC.         6分
（2）設平面BED的法向量為，
由，得，故取    8分
而=(-2,2,2)，設直線EC與平面BED所成的角為，
則有                       12分