Question

（本小題滿分14分）

已知函數，，圖象與軸異于原點的交點M處的切線為，與軸的交點N處的切線為， 并且與平行.

（1）求的值；  

（2）已知實數t∈R，求函數的最小值；

（3）令，給定，對于兩個大于1的正數，

存在實數滿足：，，并且使得不等式

恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）①當即時，              

②當即時，  

③當即時，

 ；      

,                      

【解析】本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．

（1）利用導數的幾何意義，分別求兩函數在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值，從而得到f（2）的值；

（2）令u=xlnx，再研究二次函數u²+（2t-1）u+t²-t圖象是對稱軸u= ，開口向上的拋物線，結合其性質求出最值；（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+ ，再利用導數工具研究所以F（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，得到當x≥1時，F（x）≥F（1）＞0，下面對m進行分類討論：①當m∈（0，1）時，②當m≤0時，③當m≥1時，結合不等式的性質即可求出a的取值范圍．

解: 圖象與軸異于原點的交點，

圖象與軸的交點，

由題意可得，即，                    ………………………………………………2分

∴，                   …………………………………………3分

=………4分

令，在 時，，

∴在單調遞增，                    ………………5分

圖象的對稱軸，拋物線開口向上

①當即時，               　…………………………………6分

②當即時，   ………………………………7分

③當即時，

            …………………8分

,

所以在區間上單調遞增      　　………………………9分

∴時，

①當時，有，

，

得，同理，　　…………………１０分

∴ 由的單調性知    、

從而有，符合題設.          ………………11分

②當時，，

，

由的單調性知 ，

∴，與題設不符 ……………12分

③當時，同理可得，

得，與題設不符.           ……………………13分

∴綜合①、②、③得                       ……………14分

說明：各題如有其它解法，按照相應的步驟給分.