Question

已知首項不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意的r，t∈N^*，都有

Sr

St

=( 

r

t

 )2．
（Ⅰ）判斷數列{a_n}是否為等差數列，并證明你的結論；
（Ⅱ）若數列{b_n}的第n項b_n是數列{a_n}的第b_n-1項（n≥2，n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）令t=1，r=n，得

Sn

S1

=n2，于是S_n=n²a₁．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n-1）a₁；
當n=1時，S₁=a₁也適合上式．
綜上知，a_n=（2n-1）a₁．
所以a_n-a_n-1=2a₁．
故數列{a_n}是公差d=2a₁的等差數列．
（Ⅱ）當a₁=1時，由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．
于是b_n=2b_n-1-1，即b_n-1=2（b_n-1-1）．
因此數列{b_n-1}是首項為b₁-1=2，公比為2的等比數列，所以b_n-1=2×2^n-1=2ⁿ．即b_n=2ⁿ+1．
故Tn=b1+b1++bn=( 21+22++2n )+n=

2 ( 1-2n )

1-2

+n=2n+1+n-2．