Question

已知函數是定義在上的奇函數,當時, (其中e是自然界對數的底,)

（Ⅰ）設，求證：當時，；

（Ⅱ）是否存在實數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設，則，所以

又因為是定義在上的奇函數，所以 

故函數的解析式為       …………………3分

證明：當且

時，，設

因為，所以當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增，所以

  又因為，所以當時，，此時單調遞減，所以

所以當時，即       ……………………6分

（Ⅱ）解：假設存在實數，使得當時，有最小值是3，則

（ⅰ）當，時，．在區間上單調遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當，時，，在區間上單調遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數 是上的增函數．

所以，解得（舍去）

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數是減函數；

當時，，此時函數是增函數．

所以，解得

綜上可知，存在實數，使得當時，有最小值３

【解析】（Ⅰ）,設,證明，（Ⅱ）的最小值是3，討論a的值對函數最小值的影響。