Question

(本小題滿分12分)橢圓的兩個焦點分別為 ,是橢圓短軸的一個端點，且滿足，點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為

（1）求橢圓C的方程

（2）設斜率為k(k¹0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，；問A、B兩點能否關于過點P、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當( - , 0 ) ∪( 0 , )時，A、B兩點關于過點P、Q、的直線對稱

【解析】

試題分析：解：(1)、橢圓方程可表示為……………1分

設H( x , y )是橢圓上的一點，

則| NH |² =x²+(y-3)² =" -" (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當y =" -" b時，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，

所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5 (均舍去) …………………3分

若b≥3，則當y = -3時，| NH |²有最大值2b²+18 ，

所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為………………6分

(ii) 設 A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，

則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；………①　　……………………8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y=" -" x - ，

將點Q( x₀ , y₀ )坐標代入得y₀=" -" x₀- ………②　　……………………9分

由①②解得Q( ,  )，

而點Q必在橢圓的內部

∴ ，…………… 10分

由此得k² < ，又k≠0

∴ - < k < 0或0 < k <

故當( - , 0 ) ∪( 0 , )時，A、B兩點關于過點P、Q、的直線對稱。……12分

考點：本試題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關系。

點評：解決該試題關鍵的一步是理解到短軸端點的最遠的距離的表示，以及能理解和聯立方程組，運用點差法得到直線的方程，根據點Q在橢圓內得到參數k的范圍，屬于中檔題。