Question

（2010•溫州二模）設x=-

1

3

是函數f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）若方程

f(-a)+f(a)

2

f（x）=在區間[-a，a]（a＞0）上恰有兩個不同的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，利用x=-

1

3

是函數f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點，可得f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0，從而可求m的值
進而可得函數的單調性，故可求f（x）的極大值與極小值；
（2）對參數a進行分類討論：當0＜a＜1時，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，a]上單調遞減，從而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區間[-a，a]上不可能有兩個不同的根；當a＞1時，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，1]上單調遞減，在[1，a]上單調遞增，從而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區間[-a，a]上不可能有兩個不同的根；當a=1時，f（x）在[-1，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，1]上單調遞減，方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有兩個根，故得解．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）
∵x=-

1

3

是函數f（x）=x³+mx²+mx-2的一個極值點，
∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0
∴m=-1      …（3分）
∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴f（x）有極大值f(-

1

3

)=-

49

27

，極小值f（1）=-3     …（5分）
（2）當0＜a＜1時，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，a]上單調遞減
∵[f(a)-

f(-a)+f(a)

2

]×[f(-a)-

f(-a)+f(a)

2

]=-[

f(a)-f(-a)

2

]2 ＜0
∴

f(-a)+f(a)

2

在f（-a）與f（a）之間
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區間[-a，a]上不可能有兩個不同的根．…（9分）
當a＞1時，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，1]上單調遞減，在[1，a]上單調遞增
∴f（x）有極小值f（1）=-3
又∵

f(-a)+f(a)

2

=-a2-2＜-3=f(1)
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區間[-a，a]上不可能有兩個不同的根．…（12分）
當a=1時，f（x）在[-1，-

1

3

]上單調遞增，在[-

1

3

，1]上單調遞減
此時f（-1）=f（1）=-3
∴方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有兩個根為±1．…（14分）
綜上所述：a=1．…（15分）

點評：本題以函數為載體，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是正確分類，確定函數的單調性，從而研究方程根問題．