Question

已知函數f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

（x∈R），給出以下命題：①函數f（x）的最大值是2；②周期是

5π

2

；③函數f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離是

5π

2

； ④對任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤點（

15π

8

，0）是函數f（x）圖象的一個對稱中心．其中正確命題的序號是

③⑤

．

Answer 1

分析：利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），由此確定函數的對稱性、周期性、最值，從而得到答案．

解答：解：∵函數f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

=

2

sin（

2x

5

+

π

4

） （x∈R），故其最大值等于

2

，周期等于

2π

2 5

=5π，兩條相鄰的對稱軸之間的距離是

5π

2

，
故①②不正確，③正確．
令

2x

5

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，可得 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函數f（x）的對稱軸為 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函數不關于x=

5π

2

對稱，故④不正確．
當x=

15π

8

時，函數f（x）=

2

sin（

2

5

×

15π

8

+

π

4

）=sinπ=0，故點（

15π

8

，0）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，故⑤正確．
綜上，只有③⑤正確，
故答案為：③⑤．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+∅）的對稱性、周期性、最值，利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），
是解題的突破口，屬于中檔題．