Question

設n∈N^*，不等式組所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫、縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n).

（1）求(x_n,y_n)；

（2）設數列{a_n}滿足a₁=x₁,a_n=y_n²(++…+)(n≥2),求證：n≥2時，；

（3）在（2a）的條件下，比較(1+)(1+)…(1+)與4的大小.

 

Answer 1

解:（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N^*，所以x=1.

又x=1與y=-nx+2n的交點為(1,n)，所以D_n內的整點，按由近到遠排列為：

（1，1），（1，2），…，(1,n).

（2）證明：n≥2時，a_n=y_n²(+…+)=n²［++…+］.

所以=++…+，=++….

兩式相減得=.

（3）n=1時，1+=2＜4，n=2時，(1+)(1+)=＜4.

可猜想：n∈N^*時，(1+)(1+)…(1+)＜4,

事實上n≥3時，由（2）知.

所以(1+)(1+)…(1+)=···…·

=··(··…·)·(1+a_n)

=2··()²·()²·…·()²·()²·a_n+1

==2(+++…+)

＜2［1+++…+］=2(1+1++…+)＜4.