Question

已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)是曲線上的動點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記直線與的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

（1）()；（2）；（3）點(diǎn)在曲線上.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)斜式求直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式，求出直線AP、BP的斜率，計算得到曲線C的方程；第二問，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出直線AQ的方程，它與x=4交于M，則聯(lián)立得到M點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到N點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到后，將Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍代入直接得到所求范圍；第三問，結(jié)合第二問得到直線AN和直線BM的方程，令2個方程聯(lián)立，得到T點(diǎn)坐標(biāo)，通過計算知T點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線C的方程，所以點(diǎn)T在曲線C上.
(1)設(shè)動點(diǎn)，則(且)
所以曲線的方程為().                 4分
（2）法一：設(shè)，則直線的方程為，令，則得，直線的方程為，
令，則得，          6分
∵ =
∴，∴                 8分
故
∵ ，∴，
∴，
∴，
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為           10分
法二：設(shè)直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，
所以直線的方程為，令，則得，
直線的方程為，令，則得，
∴，
∴                      8分
故
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為           10分
（3）法一：由（2）得，，
則直線的方程為，直線的方程為， 12分
由，解得即      12分
∴

∴ 點(diǎn)在曲線上.                            14分
法二：由（2）得，
∴  ，        12分
∴ 
∴ 點(diǎn)在曲線上.                       14分
法三：由（2）得，，，
∴  ，           12分
∴ 　∴ 點(diǎn)在曲線上.         14分