Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n，其中λ是不等于-1和0的常數．
（Ⅰ）證明a_n是等比數列；
（Ⅱ）設數列{a_n}的公比q=f（λ），數列{b_n}滿足b1=

1

3

，b_n=f（b_n-1）（n∈N，n≥2），求數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1=（λ+1）-λa_n -[（λ+1）-λa_n-1 ]，得到a_n和a_n-1的關系式．再由等比數列的定義

an

an-1

為常數得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n和b_n-1之間的關系．即bn= 

bn-1

1+bn-1

，兩邊取倒數，構造了{

1

bn

}這個等差數列．再根據公式求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=（λ+1）-λa_n∴S_n-1=（λ+1）-λa_n-1（n≥2）
∴a_n=-λa_n+λa_n-1即（1+λ）a_n=λa_n-1又λ≠-1且λ≠0
∴

an

an-1

=

λ

1+λ

又a₁=1
∴a_n是以1為首項，

λ

1+λ

為公比的等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：q=f（λ）=

λ

1+λ

∴bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

(n≥2)故有

1

bn

=

1+bn-1

bn-1

=

1

bn-1

+1∴

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)
∴{

1

bn

}是以3為首項，1為公差的等差數列
∴

1

bn

=n+2
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

=

n2+5n

2

點評：對于數列的題目，迭代的思想是最常用的方法，另外，已知遞推關系式，求通項公式也是常見的題型，比如，構造等差數列，構造等比數列等．