Question

（本小題滿分12分）
已知定義在R上的函數的圖像關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)當x∈[-1，1]時，圖像上是否存在兩點，使得在此兩點處的切線互相垂直?證明你的結論．

Answer 1

解：(Ⅰ) 因為函數的圖像關于原點對稱，
所以對任意恒成立，
即對任意恒成立，
所以恒成立，故，…………………3分
故，
又時，取極小值，所以，且，
所以………………①
……………………②
解得：，；
所以，（）…………………………………………………6分
（Ⅱ）當時，圖像上不存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直.
證明如下：（方法1，用反證法）
①假設在的圖像上存在兩點，，使得在此兩點處的切線互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在兩點處的切線斜率均存在.
由假設則有，…………………………8分
從而，
另一方面，，所以，所以，
與前式顯然矛盾.所以，
當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直.………………12分
（方法2）
設，為的圖像上兩點，由(Ⅰ) 可知，
且在點和點處的兩條切線的斜率均存在.
不妨設在點處的切線斜率為，在點處的切線斜率為，
則，；………………8分
所以 ，
由題意，，
所以，即
綜上所述，當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直.……12分

略