Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc．向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設函數f(x)=

m

•

n

，當f（B）取最大值

3

2

時，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

m

•

n

，并利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，確定出函數f（x）的解析式，由A的度數，得到B的取值范圍，進而確定出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到此時正弦函數的最大值，進而確定出函數的最大值，以及正弦函數取得最大值時B的度數，由A和B的度數，利用三角形的內角和定理求出C的度數，可得到三內角相等，可判斷出三角形為等邊三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜π，…（4分）
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）∵

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，
∴函數f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

 …（7分）
=sin（x+

π

6

）+

1

2

，…9分
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，…（10分）
∴當B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，f（B）有最大值是

3

2

，…（12分）
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
則△ABC為等邊三角形．…（14分）

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的圖象與性質，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．