Question

設A、B為在雙曲線上兩點，O為坐標原點．若OA丄OB，則△AOB面 積的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-x，點A（x₁，y₁）滿足滿足，可求得|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．
解答：解：設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-x，
則點A（x₁，y₁）滿足故=，=，
∴|OA|²=+=，同理|OB|²=，
故|OA|²•|OB|²=•=
∵=≤（當且僅當k=±1時，取等號）
∴|OA|²•|OB|²≥，又b＞a＞0，
故S_△AOB=|OA||OB|的最小值為．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質與三角形的面積，考查基本不等式，考查轉化與綜合運算及抽象思維能力，屬于難題．