Question

已知a＞0，bR，函數(shù)．

(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

(ⅰ)函數(shù)的最大值為|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對(duì)x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 見(jiàn)解析；(Ⅱ) ．

【解析】本題主要考察不等式，導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)．

當(dāng)b≤0時(shí)，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a；

當(dāng)b＞0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，

此時(shí)的最大值為：

＝|2a－b|﹢a；

綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，∴令．

當(dāng)b≤0時(shí)，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a；

當(dāng)b＜0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，

≤|2a－b|﹢a；

綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，

且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1對(duì)x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b為縱軸，a為橫軸．

則可行域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912470009322019/SYS201207091247332963280932_DA.files/image014.png">和，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b．

作圖如下：

由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過(guò)P(1，2)時(shí)，有，．

∴所求a＋b的取值范圍為：．