Question

設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）若首項a₁=，公差d=1．求滿足的正整數k；
（Ⅱ）求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由得，又k是正整數，所以k=4．
（Ⅱ）設數列的公差為d，則在中分別取k=1，2得，由此能求出只有3個滿足條件的無窮等差數列．
解答：解：（Ⅰ）∵首項a₁=，公差d=1．
∴，
由得，
即，
∵k是正整數，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）設數列的公差為d，
則在中分別取k=1，和k=2得，
即
由①得a₁=0或a₁=1，
當a₁=0時，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0則本題成立；
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得數列不符合題意；
當a₁=1時，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0則a_n=1，S_n=n從而成立；
若a₁=1，d=2，則a_n=2n-1，S_n=n²，
從而成立．
綜上所述，只有3個滿足條件的無窮等差數列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．
點評：本題考查等差數列的性質和應用，具體涉及到等差數列的前n項和公式和通項公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化