Question

已知曲線y=ax³+bx²+cx+d滿足下列條件：
①過原點；②在x=0處導數為-1；③在x=1處切線方程為y=4x-3．
（Ⅰ） 求實數a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求函數y=ax³+bx²+cx+d的極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求實數a、b、c、d的值，利用在x=0處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）把（1）求出的實數a、b、c、d的值代入導函數中確定出解析式，令導函數等于0求出x的值，根據x的值分區間討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間，得到函數的極大值和極小值．
解答：解（Ⅰ）y′=3ax²+2bx+c根據條件有
解得（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=x³+x²-x，y′=3x²+2x-1，（7分）
y′=0x=或-1（9分）
x，y，y′的關系如表所示

x	（-∞，-1）	-1	（-1，）		（．+∞）
y′	+		-		+
y	↑	極大值1	↓	極小	↑

因此函數y=x³+x²-x在x=-1處有極大值1，在x=處有極小值-．（13分）
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調性并根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．