Question

規定A

m x

=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數，且

A

0 x

=1，這是排列數A

m n

（n，m是正整數，n≤m）的一種推廣．
（Ⅰ） 求A

3 -9

的值；
（Ⅱ）排列數的兩個性質：①A

m n

=nA

m-1 n-1

，②A

m n

+mA

m-1 n

=A

m n+1

（其中m，n是正整數）．是否都能推廣到A

m x

（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（Ⅲ）已知函數f（x）=A

3 x

-4lnx-m，試討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接代入定義求解；
（Ⅱ）利用新定義，結合排列數的兩個性質即可證明推廣的結論；
（Ⅲ）由新定義展開函數f（x），求導后得其導函數的零點，得其在各區間段內的單調性，然后對m進行討論得其零點個數．

解答：解：（Ⅰ）

A

3 -9

=-9×(-10)×(-11)=-990；
（Ⅱ）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是①

A

m x

=x

A

m-1 x-1

，②

A

m x

+m

A

m-1 x

=

A

m x+1

（x∈R，m∈N^*）
證明：①當m=1時，左邊=

A

1 x

=x，右邊=x

A

0 x

=x，等式成立；
當m≥2時，
左邊=x（x-1）…（x-m+1）=x{（x-1）（x-2）…[（x-1）-（m-1）+1]}=x

A

m-1 x-1

．
因此，

A

m x

=x

A

m-1 x-1

（x∈R，m∈N^*）成立．
②當m=1時，左邊=

A

1 x

+

A

0 x

=x+1=

A

1 x+1

=右邊，等式成立；
當m≥2時，左邊x（x-1）…（x-m+1）+mx（x-1）…（x-m+2）
=x（x-1）…（x-m+2）（x-m+1+m）
=（x+1）x（x-1）…（x-m+2）
=（x+1）x（x-1）…[（x+1）-m=1]
=

A

m x+1

=右邊
因此，

A

m x

+m

A

m-1 x

=

A

m x+1

（x∈R，m∈N^*）成立．
（Ⅲ）f（x）=

A

3 x

-4lnx-m=x(x-1)(x-2)-4lnx-m=x3-3x2+2x-4lnx-m
設函數g（x）=x³-3x²+2x-4lnx，
函數f（x）零點的個數等價于函數g（x）與y=m公共點的個數．
f（x）的定義域為（0，+∞）
g′(x)=3x2-6x+2-

4

x

=

3x3-6x2+2x-4

x

=

(x-2)(3x2+2)

x

．
令g^′（x）=0，得x=2

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	減	-4ln2	增

∴當m＜-4ln2時，函數g（x）與y=m沒有公共點，即函數f（x）不存在零點，
當m=-4ln2時，函數g（x）與y=m有一個公共點，即函數f（x）有且只有一個零點，
當m＞-4ln2時，函數g（x）與y=m有兩個公共點，即函數f（x）有且只有兩個零點．

點評：本題考查了排列及排列數公式，考查了利用導函數判斷原函數的單調性，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是對新定義的理解與運用，是中檔題．