Question

若（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的所有二項式系數和為512，則該展開式中x³的系數為

-126

（用數字作答）．

Answer 1

分析：由二項式系數的性質求得n=9，求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r的值，即可求得展開式中x³的系數．

解答：解：由（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的所有二項式系數和為512，可得2ⁿ=512，解得n=9．
故（x²-

1

x

）ⁿ展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 9

•x^18-2r•（-1）^r•x^-r=（-1）^r•

C

r 9

•x^18-3r，
令18-3r=3，解得 r=5，∴該展開式中x³的系數為-126，
故答案為-126．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．