Question

設{a_n}是集合{2^s+2^t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12…，將數列{a_n}中各項按照上小下大，左小右大的原則排成如下等腰直角三角形數表：
3
5   6
9   10   12
…
則第四行四個數分別為

 

；且a₂₀₁₂=

 

（用2^s+2^t形式表示）．

Answer 1

分析：根據題意，可歸納出第i行的i個數是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，由此即可給出出第四行四個數．再由等差數列求和公式，得出a₂₀₁₂是第63行的第59個數，結合前面總結出的規律則不難得到a₂₀₁₂的表達式．

解答：解：由3=2⁰+2¹，
5=2⁰+2²，6=2¹+2²，
9=2⁰+2³，10=2¹+2³，3=2²+2³，
…
可得第i行的i個數是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，（i∈N^*）
由此可得第四行四個數：2⁰+2⁴=17，2¹+2⁴=18，2²+2⁴=20，2³+2⁴=24，
設a₂₀₁₂在第k行，解不等式1+2+3+…+k≥2012
即

1

2

k（k+1）≥2012，得滿足條件的最小正整數k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，
由

1

2

×62×63+1=1954，得第63行第一個數為a₁₉₅₄，
∵2012=1954+58，∴a₂₀₁₂=2⁵⁸+2⁶³
故答案為：17，18，20，24；2⁵⁸+2⁶³

點評：本題給出三角形數陣，要求我們找出其中的規律并給出a₂₀₁₂的表達式，著重考查了等差數列的通項與求和、數列的函數特性等知識，屬于中檔題．