Question

22、已知函數f（x）定義域為{x|x≠0，x∈R}，對定義域內的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且當x＞1時f（x）＞0，
（1）求f（1）與f（-1）值；
（2）求證：f（x）是偶函數；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據抽象函數“湊”的原則，結合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分別令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，即可得到答案；
（2）根據f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）及（1）中的結論，令x₁=-1，易判斷出f（-x₂）與f（x₂）的關系，再根據函數奇偶性的定義，即可得到答案．
（3）令x₁＞1，結合已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且當x＞1時f（x）＞0，我們易根據函數單調性的定義得到結論．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）證明：令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函數；（3分）
（3）證明：令x₁＞1，當x₂∈（0，+∞）時，x₁•x₂＞x₂
∵當x＞1時f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函數．（3分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明及抽象函數值，其中熟練掌握函數性質的定義及判斷方法是解答本題的關鍵．