Question

下列命題中，真命題是    ．
①若f′（x）=0，則函數f（x）在x=x處取極值．
②函數f（x）=lnx+x-2在區間（1，e）上存在零點．
③“a=1”是函數在定義域上是奇函數的充分不必要條件．
④將函數y=2cos²x-1的圖象向右平移個單位可得到y=sin2x的圖象．
⑤點是函數圖象的一個對稱中心．

Answer 1

【答案】分析：令f（x）=x³，可判斷①錯誤；根據函數零點存在定理，可判斷②錯誤；根據奇函數的定義求出a值，利用充要條件的定義，可判斷③的真假，根據函數圖象平移變換法則，求出平移后函數的解析式，對照后可判斷④的真假，根據正弦型函數的對稱性，將點的橫坐標代入可判斷⑤的真假．
解答：解：令f（x）=x³，則f′（x）=3x²，當x=0時，f′（x）=0，此時函數f（x）不是極值，故①錯誤；
函數f（x）=lnx+x-2在區間（1，e）上是連續的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根據函數零點存在定理，可得函數在區間（1，e）上存在零點，故②正確；
函數在定義域上是奇函數，則==，即解得a=±1，故③“a=1”是函數在定義域上是奇函數的充分不必要條件正確；
將函數y=2cos²x-1=cos2x的圖象向右平移個單位可得到y=cos[2（x-）]=cos（2x-）=-sin2x的圖象，故④錯誤．
當x=時，函數==，此時函數取最大值，故⑤錯誤
故答案為②③
點評：本題是命題的真假判斷為載體考查了函數取極值的條件，函數的零點，奇函數的定義，函數圖象的平移，函數的對稱性，是函數與邏輯的綜合應用．