Question

已知函數f（x）=ax-21nx，a∈R
（Ⅰ）a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）單調區間
（Ⅲ）設g(x)=

a+2e

x

(a＞0)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意對函數求導，然后解f′（x）=0方程，得到x=2，將（0，+∞）分為二個區間，最后通過列表得出導數在這二個區間的符號，討論出函數的單調性，即可得出函數的極值．
（II）先求導數fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的單調區間以及函數的極值，fˊ（x）＞0的區間是增區間，fˊ（x）＜0的區間是減區間．
（III）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，求導：
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，得出F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（I）f′(x)=1-

2

x

，x＞0．令f'（x）=0，得x=2
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0時，f（x）在（0，+∞）上為減函數；a＞0時，f（x）在（0，

2

a

）上是減函數，
在（

2

a

，+∞）上是增函數．
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）為增函數，F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．所以a的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：本題主要考查了函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．