Question

已知函數f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，實數a，b為常數）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-2-b，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a和b的值代入解析式確定出f（x），求出f（x）的導函數，把x=1代入f（x）中求出f（1）的值即為切點的縱坐標，得到切點坐標，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線的斜率，由切點坐標和斜率寫出切線的方程即可；（Ⅱ）把a=-2-b代入解析式表示出f（x），求出f（x）的導函數，又根據負數沒有對數求出f（x）的定義域，令導函數等于0求出x的值為和1，分四種情況考慮：小于等于0；大于0小于1；等于1；大于1，分別討論導函數的正負即可得到函數的單調區間．
解答：解：（Ⅰ）因為a=1，b=-1，所以函數f（x）=x²+x-lnx，f（1）=2
又，f′（1）=2（2分）
所以y-2=2（x-1）
即f（x）在x=1處的切線方程為2x-y=0（5分）
（Ⅱ）因為a=-2-b，所以f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
則（x＞0）
令f'（x）=0，得，x₂=1．（7分）
①當，即b≤0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）；（8分）
②當，即0＜b＜2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x			（1，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以，函數f（x）的單調遞增區間為∪（1，+∞），單調遞減區間為；（9分）
③當，即b=2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；（10分）
④當，即b＞2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），，單調遞減區間為；（12分）
綜上，當b≤0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）；
當0＜b＜2時，函數f（x）的單調遞增區間為∪（1，+∞），單調遞減區間為；
當b=2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當b＞2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），，單調遞減區間為．（13分）
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，會利用導函數的正負確定函數的單調區間，考查了分類討論的數學思想，是一道中檔題．