Question

以O為原點,以所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標系.設·=1,點F的坐標為(t,0),t∈［3,+∞),點G的坐標為(x₀,y₀).

(1)求x₀關于t的函數x₀=f(t)的表達式,判斷函數f(t)的單調性,并證明你的判斷;

(2)設△OFG的面積S=t,若以O為中心、F為焦點的橢圓經過點G,求當||取得最小值時橢圓的方程.

Answer 1

解：(1)由題意知=(x₀-t,y₀), =(t,0),則·=t(x₀-t)=1.

解得x₀=f(t)=t+.

    設t₁＞t₂≥3,則f(t₁)-f(t₂)=(t₁+)-(t₂+)=(t₁-t₂)-=(t₁-t₂).

∵t₁-t₂＞0,t₁t₂-1＞0,t₁t₂＞0,

∴f(t₁)-f(t₂)＞0,f(t₁)＞f(t₂),函數f(t)在區間［3,+∞］上單調遞增.

(2)由S=|||y₀|=×t×|y₀|=t,得y₀=±.

∴點G的坐標為(t+,±),||²=(t+)²+.

∵函數f(t)在區間［3,+∞］上單調遞增,

∴當t=3時,| |取得最小值,此時點F、G的坐標分別為(3,0)、(,±).

    由題意設橢圓方程為+=1.

    由點G在橢圓上,得+=1,

    解得b²=9.

∴所求橢圓方程為+=1.