Question

給出以下三個命題，其中所有正確命題的序號為

①

①已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，

AO

，

OB

為不共線向量，又

OP

=a₁

OA

+a₂₀₁₂

OB

，若

PA

=λ

PB

，則S₂₀₁₂=1006．
②“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是函數“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
③已知函數f（x）=|x²-2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，則動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．

Answer 1

分析：①利用向量共線的條件，求出a₁+a₂₀₁₂=1，然后利用等差數列的性質求前n項和．②根據三角形的性質進行判斷．③根據條件求出a，b的取值范圍，結合點到直線的距離公式進行判斷．

解答：解：①∵

AO

，

OB

為不共線向量，又

OP

=a₁

OA

+a₂₀₁₂

OB

，若

PA

=λ

PB

，∴a₁+a₂₀₁₂=1，∴在等差數列中S₂₀₁₂=

2012(a1+a2012)

2

=1006×1=1006，∴①正確．
②根據積分的幾何意義可知a=

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π=

π

4

，y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax，則若函數的最小正周期為4，則T=

2π

|2a|

=4，解得a=±

π

4

，
∴②錯誤．
③∵函數f（x）=|x²-2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故動點P（a，b）在圓a²+b²=4在0＜a＜b的上部陰影部分，
動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑：d-r=

15

3

-2=3-2=1，
但由圖象可知，圓上和直線4x+3y-15=0垂直的點不在陰影部分內部，∴③錯誤．．
故答案為：①．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．