Question

（2012•藍山縣模擬）已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期為π，f(

π

4

)=

3

，f（x）最大值為2
（1）寫出f（x）的表達式；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

2

，

π

2

]上的單增區間．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式化簡函數的解析式，由周期求出ω，由函數的最大值為

a2+b2

=2，以及 f(

π

4

)=

3

=a，求得a、b的值，即可得到函數的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．再由x∈[-

π

2

，

π

2

]，進一步確定函數的增區間．

解答：解：（1）∵函數f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+∅），其中tan∅=

b

a

，
由周期等于π可得

2π

ω

=π，由此求得ω=2．
再由最大值為

a2+b2

=2，以及 f(

π

4

)=

3

=a，解得

a= 3 b=1

，
∴函數f（x）=asinωx+bcosωx=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故在區間[-

π

2

，

π

2

]上的單增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，輔助角公式的應用，求復合三角函數的周期性和增區間，屬于中檔題．