Question

（2007•長寧區一模）設函數f(x)=

a2-x2

|x+a|+a

．（a∈R且a≠0）
（1）分別判斷當a=1及a=-2時函數的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的條件下，將（1）的結論加以推廣，使命題（1）成為推廣后命題的特例，并對推廣的結論加以證明．

Answer 1

分析：（1）判斷函數的奇偶性，首先要判斷函數的定義域，若定義域關于原點對稱，則判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，若f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數．
（2）首先對a進行分類討論：當a＞0時，f（x）為非奇非偶函數；當a＜0時，f（x）為奇函數．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=

1-x2

|x+1|+1

，由1-x²≥0，
∴-1≤x≤1．所以f(x)=

1-x2

x+2

∵f(

1

2

)=

3

5

，f(-

1

2

)=

3

3

，∴f(

1

2

)≠f(-

1

2

)，f(

1

2

)≠-f(-

1

2

)，
∴f（x）為非奇非偶函數．                                     （4分）
（如舉其他的反例同樣給分）
當a=-2時，f(x)=

4-x2

|x-2|-2

，由4-x²≥0，得-2≤x≤2，
所以f(x)=

4-x2

-x

，x∈[-2，0）∪（0，2]，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．（4分）
（2）當a＞0時，f（x）為非奇非偶函數；當a＜0時，f（x）為奇函數．（2分）a＞0時，由a²-x²≥0，得-a≤x≤a，
∴f(x)=

a2-x2

x+2a

，可以驗證：對任意的a＞0，f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，f(-

a

2

)≠-f(

a

2

)，
∴f（x）為非奇非偶函數．（如舉其他的反例同樣給分）                               （3分）
a＜0時，由a²-x²≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=

a2-x2

-x

，x∈[a，0)∪(0，-a]，
并且對定義域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）為奇函數．（3分）

點評：本題主要考查了函數的兩大基本性質之一的函數的奇偶性．用定義判斷函數的奇偶性主要兩個基本步驟，第一步判斷函數的定義域是否關于原點對稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關系．本題屬于中檔題目．