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已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.
（1）若，拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設為小于零的常數，點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點

（1）；（2）參考解析

解析試題分析：（1）由題意可得通過假設直線方程聯立拋物線方程，消去y可得一個一元二次方程，通過韋達定理寫出根與系數的關系.由中點的橫坐標等于拋物線的焦點坐標的橫坐標可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.
（2）由直線方程與拋物線的方程聯立可得，關于點A,B的坐標關系，從而得到的坐標，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點.
試題解析：（1）解：由已知，拋物線的焦點坐標為.
設過點的直線的方程為，
由   得.
設，，則.
因為與中點的連線垂直于軸，所以，即.
解得 ，.
所以，直線的方程為.
（2）證明：設直線的方程為.
由  得，
則，且，即，且.
.
因為關于軸對稱，所以，直線，
又 ，，所以，
所以 .
因為 ，又同號，，
所以 ，
所以直線的方程為，
所以，直線恒過定點.
考點：1.直線與拋物線的關系.2.對稱性的問題.3.解方程的能力.4.過定點的問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的兩個頂點．
 
(1)設P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩上動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經過點． 過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形的面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)， 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，求之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求之間滿足的關系式.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長；
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）已知點和，過點的直線與過點的直線相交于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點，則.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知橢圓的兩個焦點分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓的圓心為(),且經過、,是橢圓上的動點且在圓外,過作圓的切線,切點為,當的最大值為時,求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知離心率的橢圓一個焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2) 若斜率為1的直線交橢圓于兩點,且，求直線方程.

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