Question

已知定義在R上的兩個函數：

f(x)=2x⁴+|x-2|，g(x)=-x²+2ax+-a²(a∈R)

(Ⅰ)求函數f(x)的最小值；

(Ⅱ)判斷方程f(x)=g(x)是否有實根，并說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=  

設y₁=2x⁴+x-2  (x＞2)，y₂=2x⁴-x+2(x≤2)

則 y₁′=8x³+1，當x＞2時，y₁′＞0成立，

∴y₁在(2，+∞)上單調遞增；

y₂′=8x³-1，當x＜時，y₂′＜0，當＜x＜2時，y₂′＞0

所以，y₂在(-∞，)上單調遞減，在(，2]上單調遞增

因此，函數f(x)在(-∞，)上單調遞減，在(，+∞)上單調遞增

∴ [f(x)]_min=f()=

(Ⅱ)g(x)=-(x-a)²+

故不論a取何實數，g(x)≤恒成立

∵＜

∴當x∈R時，不等式f(x)＞g(x)恒成立．

∴方程f(x)=g(x)沒有實根