Question

已知拋物線C：y²=2px（P＞0）的準線為l，過M（1，0）且斜率為

3

的直線與l相交于點P，與C的一個交點為Q，

PM

=

MQ

．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點K（-1，0）的直線m與C相交于A、B兩點，
①若BM=2AM，求直線AB的方程；
②若點A關于x軸的對稱點為D，求證：點M在直線BD上．

Answer 1

分析：（1）設直線AB的方程與拋物線方程聯立消去y得3x²+（-6-2p）x+3=0，進而根據

PM

=

MQ

，可知 x=

1

2

p+2代入方程即可求得p，從而得到拋物線的方程．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|

BM

|=

(x2-1)  2+y22

=x₂+1，|

AM

| =

(x1-1)2+y1 2

=x1+1，由|

BM

| =2|

AM

|，知x₂=2x₁+1，由此能求出直線AB．
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁），設直線l：y=k（x+1），（k≠0），代入y²=4x，化簡整理，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由△＞0，得0＜k²＜1，x1+x2=-

2k2-4

k2

，x1x2=1，再由kBF-kDF=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=0，知點M在BD上．

解答：解：（1）設直線PQ：y=3x-3，代入y²=2px得3x²+（-6-2p）x+3=0，
又∵

PM

=

MQ

，
∴x=12p+2，解得p²+4P-12=0，
解得p=2，p=-6（舍去）
故拋物線的方程為：y²=4x．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|

BM

|=

(x2-1)  2+y22

=x₂+1，
|

AM

| =

(x1-1)2+y1 2

=x1+1，
∵|

BM

| =2|

AM

|，
∴x₂=2x₁+1，
由此能導出直線AB的斜率k=±

2 2

3

，
∴直線AB為：y=±

2 2

3

(x+1)
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁），
設直線l：y=k（x+1），（k≠0），
代入y²=4x，化簡整理，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0，得0＜k²＜1，x1+x2=-

2k2-4

k2

，x1x2=1，
kBF=

y2

x2-1

，kDF=-

y1

x1-1

，
∴kBF-kDF=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

k(x2+1)(x1-1)+k(x1+1)(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

=

2k(x1x2-1)

x1x2-(x1+x2)+1

=0，
∴點M在BD上．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．