Question

設C：y=x²（x＞0）上的點為P₀（x₀，y₀），在P₀處作曲線C的切線與x軸交于Q₁，過Q₁作平行于y軸的直線與曲線C交于P₁（x₁，y₁），然后在P₁作曲線C的切線與x軸交于Q₂，過Q₂作平行于y軸的直線與曲線C交于P₂（x₂，y₂），依此類推，作出以下各點：Q₃，P₃，…Q_n，P_n…．已知x₀=2，則數{x_n}的通項公式是________．

Answer 1

分析：把x₀=2代入函數解析式，求出y₀的值，確定出P₀的坐標，求出函數解析式的導函數，把P₀的橫坐標代入導函數中求出的導函數值為過P₀處作曲線C的切線的斜率，進而確定出切線的方程，令切線方程中y=0求出x的值，即為x₁的值，同理可求出x₂的值，依此類推，按照此規律即可表示出x_n的值，得出數列{x_n}的通項公式．
解答：∵x₀=2，P₀（x₀，y₀）在y=x²上，
∴y₀=2²=4，即P₀（2，4），
求導得：y′=2x，
∴在P₀處作曲線C的切線的斜率為y′_x=2=4，
則此切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4，
令y=0，解得：x=1，即x₁=1，
∴P₁（1，1），
同理可得x₂=，x₃=，…，
∴x_n=．
故答案為：
點評：此題考查了等比數列的通項公式，曲線上過某點切線方程的斜率，一次函數與坐標軸的交點，直線的點斜式方程，是一道綜合性較強的題型，鍛煉了學生依此類推，歸納總結的能力．