Question

（本小題滿分14分）
已知函數，當時，取得極小值.
（1）求，的值；
（2）設直線，曲線.若直線與曲線同時滿足下列兩個條件：
①直線與曲線相切且至少有兩個切點；
②對任意都有.則稱直線為曲線的“上夾線”.
試證明：直線是曲線的“上夾線”.
（3）記，設是方程的實數根，若對于定義域中任意的、，當，且時，問是否存在一個最小的正整數，使得恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.

Answer 1

（1），…………………………………………3分
（2）由，得，當時，此時，，所以是直線與曲線的一個切點，
當時，，，，
所以是直線與曲線的一個切點 
所以直線與曲線相切且至少有兩個切點……6分
對任意，
所以,因此直線：是曲線：的“上夾線” …9分
（3）方法一：，為的根，即，也即，………10分
而
∴，
∴……………………………13分
所以存在這樣最小正整數使得恒成立.………14分
方法二：不妨設，因為，所以為增函數，所以
又因為，所以為減函數，所以
所以，……………………11分
即………13分
故存在最小正整數，使得恒成立…………………14分

略