Question

（2013•浙江模擬）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A，B，設P為橢圓E上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），當|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點坐標，從而設出橢圓E的方程，解方程組

y2=4x x=1

得C（1，2），D（1，-2），根據拋物線、橢圓都關于x軸對稱，建立關于參數b的方程

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2．最后寫出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x-2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值取值范圍，再結合向量的坐標運算利用點P在橢圓上，建立k與t的關系式，利用函數的單調性求出實數t取值范圍，從而解決問題

解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F₂（1，0）．
所以橢圓E的方程為：

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
解方程組

y2=4x x=1

得C（1，2），D（1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴

|F2C|

|F2S|

=

|CD|

|ST|

=2

2

，|F2S|=

2

2

，∴S(1，

2

2

)．
因此，

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2．
故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
代入橢圓方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k²＜

1

2

∴x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x 1-x 2|＜

2 5

3

，
∴（1+k²）[

(8k2) 2

(1+2k2) 2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞

1

4

，
∴

1

4

＜k²＜

1

2

，
∵滿足

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

=

8k 2

t(1+2k 2)

，y=

y1+y2

t

=

-4k

t(1+2k 2)

，
∵點P在橢圓上，
∴[

8k 2

t(1+2k 2)

] 2+2[

-4k

t(1+2k 2)

]  2=2
∴16k²=t²（1+2k²）
∴t²=

16k 2

1+2k 2

=8- 

8

1+2k 2

，由于

1

4

＜k²＜

1

2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2
∴實數t取值范圍為：-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、橢圓的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．