Question

在正三棱錐A-BCD中，E、F分別為棱AB、CD的中點，設EF與AC所成角為α，EF與BD所成角為β，則α+β等于

π

2

．

Answer 1

分析：欲求α+β的大小，因為α，β分別為異面直線EF與AC所成角，與異面直線EF與BD所成角，所以先找到兩個角的平面角，通過E，F分別為AB，CD的中點，只需取BC中點，借助中位線的性質，就可分別得到AC，BD的平行線，找出角α，β，再根據正三棱錐的性質，把α，β放入直角三角形EFG中，求出α+β．

解答：解：取BC中點G，連接EG，FG，
∵E，G分別為AB，BC中點，∴EG∥AC，∴∠FEG為EF與AC所成角，即∠FEG=α
∵F，G分別為CD，BC中點，∴FG∥BD，∴∠EFG為EF與BD所成角，即∠EFG=β
由∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，∴AC⊥BD，∵EG∥AC，FG∥BD，∴EG⊥FG，
∴∠EGF=

π

2

，∴α+β=

π

2

故答案為

π

2

點評：本題主要考查了正三棱錐的性質，以及正三棱錐中的異面直線所成角的求法，綜合考查了學生的空間想象力，推理能力，轉化能力．