Question

點P是直線l：x-y-2=0上的動點，點A，B分別是圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：x²+（y-3）²=1上的兩個動點，則|PA|+|PB|的最小值為

73

-3

．

Answer 1

分析：根據題意，算出圓C₂關于直線l對稱的圓C'方程為（x-5）²+（y+2）²=1．當點P位于線段C₁C'上時，線段AB'長是圓C₁與圓C'上兩個動點之間的距離最小值，由此結合對稱的知識與兩點間的距離公式加以計算，即可得出|PA|+|PB|的最小值．

解答：解：設圓C'是圓C₂：x²+（y-3）²=1關于直線l對稱的圓
可得C'（5，-2），圓C'方程為（x-5）²+（y+2）²=1
可得當點P位于線段C₁C'上時，線段AB'長是圓C₁與圓C'上兩個動點之間的距離最小值
B'關于直線l對稱的點在圓C₂上，由平幾知識得當圓C₂上的
動點B與該點重合時，|PA|+|PB|達到最小值
∵|C₁C'|=

(5+3)2+(-2-1)2

=

73

，
可得|AB'|=|C₁C'|-r₁-r₂=

73

-3
因此，|PA|+|PB|的最小值等于|AB'|=

73

-3
故答案為：

73

-3

點評：本題給出直線l與兩個定圓，求圓上兩個點A、B與直線l上動點P的距離之和的最小值，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．