Question

（2012•月湖區模擬）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）設點Q滿足

AQ

=λ

QP

(λ＞0)，試探究：當PB取得最小值時，直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于

π

4

？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得
BD⊥平面POA；
（2）建立空間直角坐標系O-xyz，設PO=x，求出x=

3

時，|PB|min=

10

，此時PO=

3

，進一步求點Q的坐標，求出平面PBD的法向量

n

=(1，0，1)，利用向量的夾角公式，可證直線OQ與平面E所成的角大于

π

4

．

解答：（1）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）解：如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．
設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．
又設PO=x，則OH=2

3

-x，OA=4

3

-x，所以O（0，0，0），P（0，0，x），B(2

3

-x，2，0)，
故

PB

=

OB

-

OP

=(2

3

-x，2，-x)，
所以|

PB

|=

(2 3 -x)2+22+x2

=

2(x- 3 )2+10

，
當x=

3

時，|PB|min=

10

．此時PO=

3

，…（6分）
設點Q的坐標為（a，0，c），由（1）知，OP=

3

，則A(3

3

，0，0)，B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

AQ

=(a-3

3

，0，c)，

QP

=(-a，0，

3

-c)，
∵

AQ

=λ

QP

，∴

a-3 3 =-λa c= 3 λ-λc

．            
∴Q(

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

)，∴

OQ

=(

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

)．   （10分）
設平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

PB

=0，

n

•

BD

=0．
∵

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)，∴

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

取x=1，解得：y=0，z=1，所以

n

=(1，0，1)．…（8分）
設直線OQ與平面E所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| OQ • n |

| OQ |•| n |

=

| 3 3 λ+1 + 3 λ λ+1 |

2 • ( 3 3 λ+1 )2+( 3 λ λ+1 )2

=

|3+λ|

2 • 9+λ2

=

1

2

9+6λ+λ2 9+λ2

=

1

2

1+ 6λ 9+λ2

．…（10分）
又∵λ＞0∴sinθ＞

2

2

．∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ＞

π

4

．
因此直線OQ與平面E所成的角大于

π

4

，即結論成立．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．