Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，,且拋物線的焦點(diǎn)為.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求直線的方程和圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2），或，

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)橢圓的方程為，

則由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，,有，①

∵拋物線的焦點(diǎn)為_，∴ ， ②

又 ③，

由①、②、③得，

所以橢圓的方程為.                                        ……5分

（2） 依題意，直線斜率為1，

由此設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得.

由，得.

 記， =，=，

圓的圓心為，即, ，

半徑，

當(dāng)圓與軸相切時(shí)，，即，，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)，，圓心為(2，1)，半徑為2，圓的方程為；

同理，當(dāng)時(shí)，直線方程為，

圓的方程為.                                  ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓與拋物線基本量之間的關(guān)系和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓的方程的求解，考查了學(xué)生綜合運(yùn)算所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：每年高考圓錐曲線問(wèn)題都出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，要充分利用數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，盡可能的尋求簡(jiǎn)單方法，盡可能的減少運(yùn)算，另外思維一定要嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算一定要準(zhǔn)確.