Question

已知函數f（x）=

2x+1

x+1

．
（I）用定義證明函數在區間[1，+∞）是增函數；
（II）求該函數在區間[2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在區間[1，+∞）內任取兩數x₁，x₂并規定好大小，再作差f（x₁）-f（x₂），根據增函數的定義判斷即可；
（Ⅱ）又（1）可知f（x）=

2x+1

x+1

在區間[1，+∞）是增函數，從而在[2，4]上亦然為增函數，于是可求得函數在區間[2，4]上的最大值與最小值．

解答：（I）證明：任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

(x1-x2)

(x1+1)•(x2+1)

，
∵1≤x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）=

2x+1

x+1

在區間[1，+∞）是增函數；
（II）由（I）知函數f（x）=

2x+1

x+1

在[2，4]上是增函數，
∴f（x）_max=f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，
f（x）_min=f（2）=

5

3

．

點評：本題考查函數單調性的性質，著重考查利用函數單調性的定義證明其單調性，屬于中檔題．