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已知函數f（x）=log2（2x+1）．
（1）求證：函數f（x）定義域內單調遞增；
（2）記g（x）=log數學公式．若關于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

（1）證明：任取x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=log2
∵x1＜x2，∴0＜＜1，∴log2＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函數f（x）在R上單調遞增；
（2）解：∵g（x）=log，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log-log2（2x+1）=log2（1-）．
當1≤x≤2時，，
∴≤1-≤
∴m的取值范圍是．
分析：（1）利用函數單調性的定義，證明函數f（x）在R上單調遞增，步驟為取值、作差、變形定號、下結論；
（2）關于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，轉化為求m=g（x）-f（x）在[1，2]上的值域問題．
點評：本題考查函數單調性的證明，考查學生轉化問題的能力，考查求函數的值域，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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