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在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為
π
6
？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．
（I）CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點．
因為E是AB的中點，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．
又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，
如圖建立空間直角坐標系D-xyz，則D（0，0，0），E（
3
，0，0），C（0，2，0），P（
3
，-1，h），
CE
=（
3
，-2，0），
EP
=（0，-1，h），設平面PEC的法向量為
n1
=（x，y，z）．
則
CE
•
n1
=0
EP
•
n1
=0
，∴
3
x-2y=0
-y+hz=0
，
令y=
3
h，∴
n1
=（2h，
3
h，
3
），又平面ADE的法向量
n2
=（0，0，1），
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
3
7h2+3
=
3
2
，解得h=
7
7
，
∴在線段AM上是否存在點P，當h=
7
7
時使二面角P-EC-D的大小為
π
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=
1
2
CD=1，PD⊥面ABCD，PD=
2
，E是PC的中點
（1）證明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四邊形ABCD與CDEF均為正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=
2
，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面ACE．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=
6
．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
（3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知，，，，且∥，則＝         ．

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