Question

（2012•張掖模擬）已知函數f（x）=

1

2

x²+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e為自然對數的底數，常數a≠0）．
（1）若對任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當a取最大值時，試討論函數f（x）在區間[

1

e

，e]上的單調性；
（3）求證：對任意的n∈N^*，不等式ln

2n

n!

＜

1

12

n³-

5

8

n²+

31

24

n成立．

Answer 1

分析：（1）由題意，ax（2-lnx）≤1對任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤

1

a

對任意x＞0恒成立，確定左邊的最大值，即可求得正實數a的取值范圍；
（2）求導函數，令導數的正負，即可得到函數的單調性；
（3）先證明x²-6x+8≥-4lnx+4ln2，從而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，對任意k∈N₊成立，疊加，即可證得結論．

解答：（1）解：由題意，ax（2-lnx）≤1對任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤

1

a

對任意x＞0恒成立
令h（x）=x（2-lnx），則h′（x）=1-lnx＞0 得0＜x＜e
故h（x）在區間（0，e）上單調遞增，在區間（e，+∞）上單調遞減，-----------------------（2分）
∴h（x）_max=h（e）=e，∴e≤

1

a

，∴0＜a≤

1

e

．
故所求正實數a的取值范圍是（0，

1

e

]．---------（1分）
（2）解：由（1）知a=

1

e

，此時f（x）=

1

2

x²-3x+2lnx，f′（x）=

x2-3x+2

x

＞0得x＜1或x＞2，
故f（x）在區間（

1

e

，1），（2，e）上單調遞增，在區間（1，2）上單調遞減．----------（3分）
（3）證明：由（2）知f（x）在區間（1，2）上單調遞減，在區間（2，+∞）上單調遞增，
故當x≥1時，

1

2

x²-3x+2lnx≥2ln2-4，即x²-6x+8≥-4lnx+4ln2．
從而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，對任意k∈N₊成立．----------------------------（2分）
于是

n

k=1

（k²-6k+8）≥

n

k=1

（-4lnk+4ln2），
即

n(n+1)(2n+1)

6

-

6n(n+1)

2

+8n＞-4lnn!+8n＞-4lnn!+4nln2
即

2n3-15n2-17n

6

+8n＞4ln

2n

n!

．
即ln

2n

n!

＜

1

12

n³-

5

8

n²+

31

24

n成立-------------（4分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確求導，確定函數的單調性是關鍵．