Question

設函數y=f（x）滿足對任意的實數t，都有f（1+t）=-f（1-t），f（t-2）=f（2-t）成立，則下面關于函數y=f（x）的說法：①圖象關于點（1，0）對稱；②圖象關于y軸對稱；③以2為周期；④f（2009）=0．其中正確的有

①②④

（將你認為正確說法前面的序號都填上）．

Answer 1

分析：利用函數的基本性質，對稱中心，周期，分別對選項驗證，判定正誤即可．

解答：解：①f（1+t）=-f（1-t）恒成立，則函數y=f（x）的圖象關于（1，0）點對稱；①正確．
②由f（t-2）=f（2-t）⇒f（x）=f（-x），則函數y=f（x）是偶函數，它的圖象關于y軸對稱，故②正確．
③若f（1+t）=-f（1-t），且f（1-t）=f（t-1）恒成立，⇒f（1+t）=-f（t-1）⇒f（t+2）=-f（t），從而f（t+4）=-f（t+2）=f（t），則函數y=f（x）以4為周期．③錯誤．
④∵函數y=f（x）以4為周期，∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1），
在f（1+t）=-f（1-t）中令t=0得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∴f（2009）=0．④正確．
故答案為：①②④．．

點評：本題考查函數圖象的對稱性，函數的周期性，考查學生靈活運用知識的能力，是基礎題．