Question

已知邊長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點，H為BB₁上靠近B的三等分點，G是EF的中點．
（1）求A₁H與平面EFH所成角的余弦值；
（2）設點P在線段GH上，且

GP

GH

=λ，試確定λ的值，使得C₁P的長度最短．

Answer 1

分析：（1）由題意建立坐標系，求出平面EFH的法向量，利用對應向量的數(shù)量積求出線面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由題意先求出P點的坐標，再求向量

C1P

的長度的平方，轉化為關于λ的一個一元二次函數(shù)，當取在對稱軸出有最小值．

解答：解：由題意，以D₁為坐標原點，A₁D₁，D₁C₁，DD₁為x，y，z軸建立直角坐標系
，
可得E（2，0，6），F(xiàn)（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）設平面EFH的法向量

n

=（1，x，y），∵

EF

=（-2，2，0），

EH

=（4，6，-2）
∴

-2+2x=0 4+6x-2y=0

，求得

n

=（1，1，5）；
∵

A1H

=（0，6，4），∴cos＜

n

，

A1H

＞=

n • A1H

| n |  | A1H |

=

26

27 52

=

39

9

；
設A₁H 與平面EF所成角θ，則cosθ=

1- 39 81

=

42

9

．（5分）
（2）由題意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），

GH

=（5，5，-2），
∵

GP

GH

=λ，∴設

GP

=λ

GH

=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
∴

C1P

=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），
∴

C1P

2=（5λ+1）²+（5λ-5）²+（2λ-6）²=54λ²-64λ+58，
當λ=

16

27

時，C₁P的長度取得最小值．（10分）

點評：本題用向量法求線面角的問題及求線段的最小值，只要用了向量的數(shù)量積和向量的長度；在求長度時轉化到了二次函數(shù)求最小值，考查了轉化思想和運算能力．