Question

（08年黃岡中學三模理）如圖，設拋物線的準線與軸交于，焦點為；以為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.

（Ⅰ）當時，求橢圓的方程及其右準線的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經過橢圓的右焦點，與拋物線交于，如果

以線段為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；

（Ⅲ）是否存在實數，使得△的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）設橢圓長半軸為，半焦距為，當時，，.

∵，∴

故橢圓方程為，右準線方程為    

（Ⅱ）依題意設直線的方程為：，R

聯立  得點P的坐標為.

將代入得.

         設，由韋達定理得.

又,

      

   因為R,于是的值可能小于零,等于零,大于零,

即點可在圓內, 圓上或圓外.

（Ⅲ）假設存在滿足條件的實數，

由題設有.

又設，有

設，對于拋物線，；

對于橢圓，，

即.

由 解得 ,

∴,    從而 .

因此，三角形的邊長分別是 .

     所以時，能使三角形的邊長是連續的自然數.