Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．則給出下列命題：
（1）f（2008）=-2；
（2）函數y=f（x）圖象的一條對稱由為x=-6； 
（3）函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數；
（4）方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根；
其中正確的命題個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）、賦值x=-3，又因為f（x）是R上的偶函數，f（3）=0，則函數f（x）為周期是6的函數，所以f（2008）=f（4），故f（2008）=-2；
（2）、f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），又因為f （x+6）=f （x），得周期為6，從而f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
（3）、有單調性定義知函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數；
（4）、f（3）=0，f（x）的周期為6，所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0．

解答：解：①：對于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），
又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=0．所以f（2008）=f（4）=f（-4），
又由f（-4）=-2，故f（2008）=-2；故①正確
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸．故②正確
③：當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
所以函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，
因為f（x）是R上的偶函數，所以函數y=f（x）在[-3，0]上為減函數
而f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數．故③正確
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．故④正確
故答案為：D．

點評：本題重點考查函數性質的應用，用到了單調性，周期性，奇偶性，對稱軸還有賦值法求函數值．