Question

半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB
為邊向外作正三角形ABC，問：B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：設∠AOB=θ，AB=x，則由余弦定理求得 x²=5-4cosθ．再利用兩角和差的正弦公式化簡S_OACB =S_△AOB+S_△ABC 的解析式為 

5 3

4

+2sin(θ-

π

3

)，從而求得S_OACB的面積取得最大值．

解答：解：設∠AOB=θ，則S_OACB =S_△AOB+S_△ABC．
設AB=x，則x²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1²+2²-2×1×2•cosθ=5-4cosθ．
故 S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

×1×2•sinθ+

1

2

•x•x•sin

π

3

=sinθ+

3

4

(5-4cosθ)=

5 3

4

+sinθ-

3

cosθ=

5 3

4

+2sin(θ-

π

3

)，
∴當sin(θ-

π

3

)=1，即θ=

5π

6

時，S_OACB的面積取得最大值，并且最大值是

5 3

4

+2．

點評：本題主要余弦定理的應用，兩角和差的正弦公式、正弦函數的最值，屬于中檔題．