Question

如圖，已知直線OP₁、OP₂為雙曲線E的漸近線，△P₁OP₂的面積為,在雙曲線E上有一點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線的離心率為.

（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x₂,則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你結論；

（2）求雙曲線E的方程；

（3）設雙曲線E上的動點M，兩焦點為F₁，F₂，若MF₁與MF₂的夾角為鈍角，求M點橫坐標x₀的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由e²==1+()²=()²,得=.

∴兩漸近線OP₁、OP₂的方程分別為y=x和y=-x.

設點P₁（x₁,x₁）、點P₂(x₂,-x).

設∠P₁OP₂=2α,則tanα=,∴sin2α=

cos2α=

又S_△OP1P2=||||sin2α=·||||=,

∴||||=.

∴·=||||cos2α=×()==x₁x₂x₁x₂=·x₁x₂,即x₁x₂=.

(2)由點P為線段的一個三等分點可知，點P分所成的比λ=2,

∴P點坐標為（）,即().

設P(x,y),則x=且y=,即x₁+2x₂=3x且x₁-2x₂=2y,

∴(3x)²-(2y)²=(x₁+2x₂)²-(x₁-2x₂)²=8x₁x₂=36,即=1.

(3)由(2)知c=,∴F₁(,0),

F₂(,0),y₀²=-9,

∴·=||||cos＜,＞=(-x₀,-y₀)·(-x₀,-y₀)=x₀²-13+y₀²=x₀²-13+-9=-22＜0,即|x₀|＜.

又|x₀|＞2,

故x₀的取值范圍為（-，-2）∪(2,).