Question

（本小題共13分）

       若數列滿足，數列為數列，記=．

       （Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列；

       （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

       （Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

Answer 1

（共13分）

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₅）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，

所以.

所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列.

所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

……

a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999.

       又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999.

       故是遞增數列.

       綜上，結論得證。

       （Ⅲ）令

       因為

       ……

      

所以

因為

所以為偶數,

所以要使為偶數,

即4整除.

當

時，有

當的項滿足，

當不能被4整除，此時不存在E數列A_n，

使得